인덕턴스(Inductance)

가. 정의

전선에 흐르는 전류가 흐르면 자계가 발생되고 또한 전류의 크기가 변화되면 전자유도작용에 의해 그 전선에 전압(역기전력 , 또는 )이 발생된다. 인덕턴스는 이 전류 변화에 대해 발생되는 전압의 비율을 표시하는 양을 나타내며,
自己유도 (Self Induction : 어떤 회로에서 전류가 변화하면 쇄교자속도 따라서 변화하므로 이 변화를 막는 방향의 기전력이 회로내에서 발생하는 현상)에 의한 자기인덕턴스와
상호유도 (Mutual Induction : 2개의 전기회로가 접근해서 존재할 때 한쪽 전류를 변화시키면 그것에 의해서 만들어지는 자속이 변화하고 그 자속 변화가 동시에 다른쪽 회로에도 영향을 미쳐 거기에 기전력이 유도되는 현상)에 의한 상호인덕턴스로 구분할 수 있으며, 기전력은 자속변화를 방해하는 방향으로 발생한다.
보통 전력계통에서는 이를 일체로 하여 항상 1상에 대하여 나타내며, 길이가 길수록 상호 인덕턴스가 커지므로 장거리 송전선로의 경우에는 송전선로를 연가하여 평형시키는 방법을 취하고 있다.

나. Inductance는 아래와 같이 표시된다.

1. 자기 인덕턴스

2. 상호인덕턴스

상호 인접된 전기회로 각각에서 발생하는 자속이 각각의 전선에 미치는 인덕턴스를 나타내며, 기호는 M, 단위는 H 또는 mH로 표시한다.

다. 직선상 도선의 자속

1. 도체외부의 경우

먼저 도체 외부에 대해서 그림처럼 반지름 r[m]의 도선의 중심으로부터 x[m]의 거리에 dx[m]의 두께로 도선에 따라서 길이 1[m]의 원통상의 원통상의 자기회로를 생각해본다.

이 도체에 전류 I가 흐르고 있을 경우 도체 증심으로부터 x만큼 떨어져 있는 곳에서의 자계의 세기 H_out는

암페어의 주회법칙에 의해 이고,

이때 자속밀도 B_out은 이다.

- μ : 도체의 투자율 = μ₀μ_s
- μ₀ : 진공의 투자율 = 4π×10^-7
-μs : 비투자율(진공의 경우 μ_s≒1)

그러므로 그림의 도선 외부의 단면의 미소부분을 통과하는 자속

가 되고,

도선의 권선회수는 1이므로 dx 부분에 의한 총 쇄교 자속수 이다.

따라서 도체표면인 반지름 r[m]로부터 S[m]만큼(실제로는 무한대) 떨어져 있는 범위내의 쇄교자속수는 아래와 같이 표현된다.

2. 도체내부의 경우

도체 내부의 지속 쇄교수를 구할 경우에는 우선 기본적인 가정으로서 도체에 흐르고 있는 전류 i[A]는 반지름 r[m]의 단면을 균일하게 분포되고 있는 것으로 한다.

지금 아래의 그림처럼 도체의 중심으로부터 반지름 x[m]의 원을 그리고 외부 자속 쇄교수를 구했을 때와 마찬가지로 반지름(x+dx)[m]의 원을 그린다(곹 이것은 두께 dx[m]로 길이 l[m]인 동심원통이 된다)

반지름 r[m]의 원의 단면적은 이고 반지름 x[m]의 원의 단면적은 이다.
전류 i는 단면에 균일하게 분포해서 흐른다고 가정하면 반지름 r[m]의 단면에 흐르고 있는 전류 와 반지음 x[m]의 면적에 흐르고 있는 전류 와는 면적에 비례한 크기로 되므로

로부터 다음의 식을 얻는다.

이 전류가 도체의 중심에 집중되어 있다고 하면, 두께 dx[m] 길이 l 인 원통의 단면을 통과하는 자속은 식 (3)으로부터

가 되고 이 작속은 x[m]인 원통 내부의 도체 부분만을 쇄교한다. 따라서 전류 Ix와 자속과의 쇄교수는 다음과 같다.

그러므로 도체 내부의 단위길이당 쇄교자속수 은 식(8)을 x=0 에서부터 x = r까지 x에 대해 적분한 값이 된다.

이 결과 도선의 내외부의 단위길이당의 총 자속 쇄교수는 다음과 같다.

이 식은 다음과 같이 간단하게 할 수 있다.

여기서

즉, 전 쇄교 작속수는 반지름 r'[m]인 도체 외부의 쇄교자속수와 같으며, 이때 r'를 도체의 등가반지음 또는 기하평균반지름이라고 한다.

3. 도선의 인덕턴스 일반식

아래의 그림과 같이 n개의 도체가 평행으로 배치되어 있을 때의 인덕턴스

n개의 도체계에서 도체 1의 자속 쇄교수는 도체 1의 전류 I1과 그 자속과의 쇄교수와 다른 도체의 전류 에 의한 자속과 I1과의 쇄교수를 합하면 된다. 그러므로 식(10)을 이용하여

와 같이 된다. 이 식의 두 번째 이후 항을 분자와 분모로 나누어 다시쓰면

이 된다. 여기서 각 도체로부터 무한 원점까지의 거리가 같다고 가정하면

이 성립하고 또한 각 도체에 흐르는 전류 I1, I2,....,In는 키흐히호프의 전류법칙에 따라 그 합이 "0"이 되어야 한다.

위의 두 가정을 식(13)에 대입하면 두 번째 항은 "0"이 되고 식(11)의 등가반지름을 이용하면 다음과 같다.

이와같이 주변도체에 의한 영향까지 모두 고려한 1상당의 인덕턴스를 작용인덕턴스라고 한다. 이로부터 n개의 선로중 1번선로의 작용인덕턴스를 구하면

이 된다. 여기서 μ에 식(2)의 값을 대입하고 단위를 mH/km로 바꾼다. 또한, 자연 log를 상용 log로 고치면 다음과 같은 일반식을 얻는다. 2번,3번 선로의 작용인덕턴스도 이와같은 방법으로 구한다.

4. 왕복 2도선의 인덕턴스

그림과 같이 왕복로 a,b의 직선상 2도선이 D[m]의 간격을 두고 평행으로 가선되고, 여기에 각각 방향이 다른 전류가 흐르고 있다. 식(17)의 식에 크기가 같고 방향이 다른 각각의 전류(I1=-I2) 반지름 r1 = r2 = r[m], 선간거리 D를 대입하면,

5. 3상 1회선 송전선로의 인덕턴스

5-1. 정삼각형 배치의 경우

정삼각형 배치의 경우 3개의 전선 a,b,c은 또는 의 관계가 항상 성립한다. 따라서, 전선 a의 단위길이당의 인덕턴스는 그림 4.6(b)에 보인 왕복 2도선의 경우와 마찬가지로 다음 식으로 계산할 수 있다.

5-2. 비 정삼각형 배치의 경우

일반의 3상송전선로에서는 각 전선의 거리는 같지 않고 또한 지표상의 높이도 달라지므로 이러한 경우에는 각 전선의 인덕턴스, 정전용량도 각각 다르게 되고 송전단에서 대칭전압을 인가하더라고 수전단전압이 비대칭으로 된다. 따라서 이것을 방지하기 위해 장거리 송전선로의 경우에는 선로정수가 평형이 될 수 있도록 송전선로를 적당한 거리마다 연가를 하고 있다.

라. 결론

선로는 저항(R), 인덕턴스(L), 정전용량(C), 누설콘덕턴스(G)가 균일하게 분포되어 있는 전기회로이다. 선로정수는 선로의 전압, 전류, 전압강하, 송수전단, 전력 등의 특성을 계산하는 요체이며, 전선의 종류, 굵기, 배치, 길이에 따라 결정되고 전압, 전류, 역율, 기온 등에는 영향을 받지 않는다. 특히 인덕턴스는 초고압 장거리 송전선로에서는 저항의 수백~수천배에 달하게 되어 송전선로의 주 전압강하요소가 된다. 그러나 실제의 송전선로 인덕턴스의 계산은 이론상으로는 불가하므로 실측 또는 컴퓨터 프로그램에 의한 시물레이션으로 추정하여 산출하고 있다.